Question

16．已知$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$，x∈R，且f（x）為奇函數．
（I）求a的值及f（x）的解析式；
（II）判斷函數f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根據函數f（x）為奇函數，對應的f（-x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；
（Ⅱ）直接根據對數函數的單調性以及指數函數的值域即可得到結論．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）為奇函數，
∴f（-x）+f（x）=0，
即a-$\frac{2}{{2}^{-x}+1}$+a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=0，
解得：a=1，
故f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
（Ⅱ）∵$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R遞減，
∴f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$在R遞增．

點評 本題主要考察函數奇偶性與單調性的綜合．解決問題的關鍵在于把問題轉化為f（-x）+f（x）=0恒成立求出a的值．