Question

5．定義：已知函數f（x）在[m，n]（m＜n）上的最小值為t，若t≤m恒成立，則稱函數f（x）在[m，n]（m＜n）上具有“DK”性質．例如函數$y=\sqrt{x}$在[1，9]上就具有“DK”性質．
（1）判斷函數f（x）=x²-2x+2在[1，2]上是否具有“DK”性質？說明理由；
（2）若g（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據新定義進行判斷即可．
（2）根據二次函數的性質，求出對稱軸，對其進行討論，根據新定義求解．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x+2，x∈[1，2]，
對稱軸x=1，開口向上．
當x=1時，取得最小值為f（1）=1，
∴f（x）_min=f（1）=1≤1，
∴函數f（x）在[1，2]上具有“DK”性質．
（2）g（x）=x²-ax+2，x∈[a，a+1]，其圖象的對稱軸方程為$x=\frac{a}{2}$．
①當$\frac{a}{2}≥0$，即a≥0時，$g{（x）_{min}}=g（a）={a^2}-{a^2}+2=2$．
若函數g（x）具有“DK”性質，則有2≤a總成立，即a≥2．
②當$a＜\frac{a}{2}＜a+1$，即-2＜a＜0時，$g{（x）_{min}}=g（\frac{a}{2}）=-\frac{a^2}{4}+2$．
若函數g（x）具有“DK”性質，則有$-\frac{a^2}{4}+2≤a$總成立，解得a無解．
③當$\frac{a}{2}≥a+1$，即a≤-2時，g（x）_min=g（a+1）=a+3．
若函數g（x）具有“DK”性質，則有a+3≤a，解得a無解．
綜上所述，若g（x）=x²-ax+2在[a，a+1]上具有“DK”性質，則a≥2．

點評 本題考查了對新定義的理解和運用與二次函數的性質的結合討論最小值的問題．屬于中檔題．