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9.已知函數f(x)=|2x+1|+|x-2|
(1)求不等式f(x)≤5的解集;
(2)若關于x的不等式f(x)<|a-$\frac{1}{2}$|的解集不是空集,求實數a的取值范圍.

分析 (1)利用分段函數化簡f(x)的解析式,畫出它的圖象,根據數f(x)的圖象與直線y=5的交點為(-$\frac{4}{3}$,5)、(2,5).數形結合可得不等式f(x)≤5的解集.
(2)由題意可得f(x)min<|a-$\frac{1}{2}$|,根據函數f(x)的圖象可知函數f(x)的最小值$\frac{5}{2}$,于是|a-$\frac{1}{2}$|>$\frac{5}{2}$,求得a的范圍.

解答 解:(1)f(x)=|2x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{3x-1,x>2}\\{x+3,-\frac{1}{2}≤x≤2}\\{-3x+1,x<-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
作出函數f(x)的圖象,它與直線y=5的交點為(-$\frac{4}{3}$,5)、(2,5).
∴不等式f(x)≤5的解集為[-$\frac{4}{3}$,2].
(2)若關于x的不等式f(x)<|a-$\frac{1}{2}$|的解集不是空集,
只要f(x)min<|a-$\frac{1}{2}$|即可,
由函數f(x)的圖象可知,當x=-$\frac{1}{2}$時,函數f(x)取得最小值$\frac{5}{2}$,
于是|a-$\frac{1}{2}$|>$\frac{5}{2}$,求得a>3或a<-2.

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數,分段函數的應用,解絕對值不等式,屬于中檔題.

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(2)若g(x)=x2-ax+2在[a,a+1]上具有“DK”性質,求a的取值范圍.

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