Question

9．已知數列a_n=2n-1，求{a_n}的前n項和S_n=n²，求$\left\{{{a_{2^n}}}\right\}$的前n項和 S′_n=2ⁿ⁺²-n-4．

Answer 1

分析 由題意：數列a_n=2n-1，則a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2（常數），說明{a_n}是首項為1，公差d=2的等差數列．數列{a_n}的前n項和即可求．由a_n=2n-1，則$\left\{{{a_{2^n}}}\right\}$的通項a_n=2（2ⁿ）-1=2ⁿ⁺¹-1，即可求前n項和．

解答 解：由題意：數列a_n=2n-1，則a_n+1-a_n=2（n+1）-1-（2n-1）=2（常數），
∴{a_n}是首項為1，公差d=2的等差數列．
∴${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=n²．
由a_n=2n-1，則$\left\{{{a_{2^n}}}\right\}$的通項a_n=2•2ⁿ-1
那么：前n項和S′_n=a₁+a₂+…+a_n
=2•（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n，
=2ⁿ⁺²-n-4
故答案為S_n=n²，S′_n=2ⁿ⁺²-n-4．

點評 本題考查了等差數列的證明和前n項和公式的運用以及分組求和法求數列的前n項和．屬于中檔題．