Question

13．如圖，已知直線l₁：kx+y=0和直線l₂：kx+y+b=0（b＞0），射線OC的一個法向量為$\overrightarrow{n_3}$=（-k，1），點O為坐標原點，且k≥0，直線l₁和l₂之間的距離為2，點A、B分別是直線l₁、l₂上的動點，P（4，2），PM⊥l₁于點M，PN⊥OC于點N；
（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；
（2）若|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=8，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值；
（3）若k=0，AB⊥l₂，且Q（-4，-4），試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）若k=1，則可得|OM|=$\sqrt{2}$．|ON|=3$\sqrt{2}$，進而得到|OM|+|ON|的值；
（2）若|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=8，利用柯西不等式可得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$≤32；
（3）若k=0，AB⊥l₂，且Q（-4，-4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，當且僅當B取點（0，-2）時，|BM|+|QB|取得最小值．

解答 解：（1）∵k=1．
∴射線OC的一個法向量為$\overrightarrow{n_3}$=（-1，1），
∴射線OC的斜率為1，射線OC的方程為：y=x（x≥0）．
∴|PN|=$\frac{|4-2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，|OP|=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴|ON|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|PN{|}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
直線l₁：x+y=0，|PM|=$\frac{|4+2|}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴|OM|=$\sqrt{|OP{|}^{2}-|PM{|}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴|OM|+|ON|=4$\sqrt{2}$．
（2）k≥0，b＞0，直線l₁和l₂之間的距離為2，
∴$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，化為：b²=4（k²+1）．
設A（m，-km），B（n，-kn-b）．
∵P（4，2），|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=8，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=（m+n-8，-km-kn-b-4），
則（m+n-8）²+（km+kn+b+4）²=64≥2（m-4）（n-4）+2（km+2）（kn+b+2），
$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=（m-4）（n-4）+（-km-2）（-kn-b-2）
=（m-4）（n-4）+（km+2）（kn+b+2）≤32，
故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最大值為32；
（3）k=0，直線l₁：y=0，直線l₂：y+2=0，如圖所示．
作出點P關于直線y=-1的對稱點M（4，-4），則|PA|=|BM|．
設B（x，-2）．
∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2
=$\sqrt{（x+4）^{2}+4}$+$\sqrt{（x-4）^{2}+4}$+2，
同理由對稱性可得：當且僅當B取點（0，-2）時，
|BM|+|QB|取得最小值2$\sqrt{20}$=4$\sqrt{5}$．
∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值為4$\sqrt{5}$+2．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列與等差數列通項公式、“裂項求和方法”、數列單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．