Question

8．以直角坐標系xOy的原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐際系，已知曲線C的極坐標方程為ρsin²θ=4cosθ，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數），
（Ⅰ）求C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C交于A、B兩點，求|AB|

Answer 1

分析 （Ⅰ）將原極坐標方程ρcos²θ=4sinθ兩邊同時乘以ρ，利用極坐標與直角坐標之間的關系即可得出其直角坐標方程；
（Ⅱ）求出直線l的直角坐標方程，代入弦長公式計算即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=4cosθ得，ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲線C的直角坐標方程為y²=4x；
（Ⅱ）∵直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=\sqrt{3}t}\end{array}\right.$ （t為參數），
∴直線l的直角坐標方程是：y=$\sqrt{3}$（x-1），
如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得：3x²-10x+3=0，
故x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，x₁x₂=1，
故|AB|=$\sqrt{1{+k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{{（\frac{10}{3}）}^{2}-4}$=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了參數方程、極坐標方程和普通方程的轉化，考查弦長公式，是一道中檔題．