Question

19．在平面直角坐標系中，已知$\vec m$=（sin（x+$\frac{π}{4}$），cosx），$\vec n$=（cos（x+$\frac{π}{4}$），cosx），f（x）=$\vec m$•$\vec n$．
（1）試求f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，若f（$\frac{A}{2}$）=1，a=2，試求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用數量積運算性質、倍角公式、誘導公式可得f（x），再利用三角函數的單調性周期性即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性質、三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）由已知可得：f（x）=$\frac{1}{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）（cos（x+$\frac{π}{4}$）+cosx•cosx=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=cos2x+$\frac{1}{2}$，
∴T=π，單調遞增區間為：$[-\frac{π}{2}+kπ，π+kπ]$（k∈Z）．
（2）$f（\frac{A}{2}）=1⇒cosA+\frac{1}{2}=1⇒cosA=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}$．
又∵a=2，∴a²=b²+c²-2bccosA，4=b²+c²-bc．
又∵b²+c²≥2bc（當且僅當“b=c”時取等號）
∴y=b²+c²-bc≥bc.${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA$$≤\frac{1}{2}×4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
當且僅當b=c=2時取等號．
∴${（{S_{△ABC}}）_{max}}=\sqrt{3}$．

點評 本題考查了數量積運算性質、倍角公式、誘導公式、三角函數的單調性周期性、余弦定理、基本不等式的性質、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．