Question

11．已知動點M（x，y）到點E（1，0）的距離是它到點F（4，0）的距離的一半．
（I）求動點M的軌跡方程；
（II）已知點A，C，B，D是點M軌跡上的四個點，且AC，BD互相垂直，垂足為M（1，1），求四邊形ABCD面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用直接法求動點M的軌跡方程；
（II）設圓心到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，則 d₁²+d₂² =2，代入面積公式S=$\frac{1}{2}$|AC|BD|，使用換元、配方法求出四邊形ABCD的面積的取值范圍．

解答 解：（I）由題意，$\sqrt{\frac{{（x-1{）^2}+{y^2}}}{{（x-4{）^2}+{y^2}}}}=\frac{1}{2}$…..（1分）
化簡得x²+y²=4 …..（4分）
（II）設圓心O到AC、BD的距離分別為d₁、d₂，做OE⊥BD，OF⊥AC，則四邊形OEMF為矩形，
又M（1，1），所以${d_1}^2+{d_2}^2=2$，$|{AC}|=2\sqrt{4-{d_1}^2}，|{BD}|=2\sqrt{4-{d_2}^2}$．
則四邊形ABCD的面積為：S=$\frac{1}{2}$|AC|BD|，又${d_2}^2=2-{d_1}^2$，
所以$S=2\sqrt{（{4-{d_1}^2}）（{4-2+{d_1}^2}）}=2\sqrt{（{4-{d_1}^2}）（{2+{d_1}^2}）}$，…..（7分）
令${p9vv5xb5_{1}}^{2}$=t，則0≤t≤2，從而$S=2\sqrt{（{4-t}）（{2+t}）}=2\sqrt{-{t^2}+2t+8}（{0≤t≤2}）$．對于函數y=-t²+2t+8，其對稱軸為t=1，根據一元二次函數的性質，y_max=9，y_min=8，即$M={S_{max}}=6，N={S_{min}}=4\sqrt{2}$，所以四邊形ABCD面積的取值范圍為$[{4\sqrt{2}，6}]$…（12分）

點評 此題考查軌跡方程的求法，看下學生掌握垂徑定理及勾股定理的應用，靈活運用兩點間的距離公式化簡求值，是一道中檔題．解答關鍵是四邊形面積可用互相垂直的2條對角線長度之積的一半來計算．