Question

2．已知函數f（x）=$\frac{1}{x-1}$+1．
（1）證明：函數f（x）在（1，+∞）上遞減；
（2）記函數g（x）=f（x+1）-1，判斷函數g（x）的奇偶性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據函數單調性的定義進行證明，
（2）求出函數的解析式，結合函數奇偶性的定義進行證明判斷．

解答 證明：（1）設x₁＞x₂＞1，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}-1}$-$\frac{1}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
則x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
則f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上遞減．
（2）g（x）=f（x+1）-1=$\frac{1}{x+1-1}$+1-1=$\frac{1}{x}$，則g（x）是奇函數，
證明如下：∵g（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）關于原點對稱，
g（-x）=-$\frac{1}{x}$=-g（x），
∴g（x）是奇函數．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷，利用函數奇偶性和單調性的定義是解決本題的關鍵．