Question

12．如圖，F₁，F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{24}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F₁的直線l與雙曲線的左右兩支分別交于點B，A兩點．若△ABF₂為等邊三角形，則△BF₁F₂的面積為（　　）

• A． 8
• B． 8$\sqrt{2}$
• C． 8$\sqrt{3}$
• D． 16

Answer 1

分析 由雙曲線的定義，可得F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F₁F₂=2c，再在△F₁BF₂中應用余弦定理得，a，c的關系，即可求出△BF₁F₂的面積．

解答 解：因為△ABF₂為等邊三角形，不妨設AB=BF₂=AF₂=m，
A為雙曲線上一點，F₁A-F₂A=F₁A-AB=F₁B=2a，
B為雙曲線上一點，則BF₂-BF₁=2a，BF₂=4a，F₁F₂=2c，
在△F₁BF₂中應用余弦定理得：4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•cos120°，
得c²=7a²，
在雙曲線中：c²=a²+b²，b²=24
∴a²=4
∴△BF₁F₂的面積為$\frac{1}{2}•2a•4a•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}{a}^{2}$=2$\sqrt{3}$×4=8$\sqrt{3}$．
故選：C．

點評 本題給出經過雙曲線左焦點的直線被雙曲線截得弦AB與右焦點構成等邊三角形，求三角形的面積，著重考查了雙曲線的定義和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．