Question

7．已知函數f（x）=2cos²$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-1，x∈R．
（I）求使得取f（x）得最大值的x的取值集合；
（II）若g（x）=x+f（x），求g（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析 （I）化簡函數f（x），求出f（x）得最大值的x的取值集合；
（II）求函數g（x）的導數，利用函數單調性和導數之間的關系解g（x）的單調遞減區間．

解答 解：（ I）∵$f（x）=cosx-\sqrt{3}sinx=2cos（x+\frac{π}{3}）$，
當$x+\frac{π}{3}=2kπ$，即$x=2kπ-\frac{π}{3}$時，f（x）取得最大值2．
所以使得f（x）取得最大值的x的取值集合為$\{x|x=2kπ-\frac{π}{3}，k∈Z\}$．
（ II）∵$g（x）=x+cosx-\sqrt{3}sinx$，
∴$g'（x）=1-sinx-\sqrt{3}cosx$．
令g'（x）＜0，得$1-sinx-\sqrt{3}cosx＜0$，
∴$sinx+\sqrt{3}cosx＞1$，
∴$2sin（x+\frac{π}{3}）＞1$，
∴$sin（x+\frac{π}{3}）＞\frac{1}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{6}＜x+\frac{π}{3}＜kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z，
∴$2kπ-\frac{π}{6}＜x＜2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴g（x）的單調遞減區間為$[2kπ-\frac{π}{6}，2kπ+\frac{π}{2}]$，k∈Z．

點評 本題主要考查函數單調性和單調區間的求解，利用正弦函數的單調性的性質或者導數法時解決本題的關鍵．