Question

19．一條光線經過點P（2，3）射在直線x+y+1=0上，反射后，經過點A（1，1），則光線的入射線和反射線所在的直線方程為2x-y-1=0；4x-5y+1=0．

Answer 1

分析 依題意，光線的入射線PA，設點P關于直線x+y+1=0的對稱點Q（x₀，y₀），PQ的中點在直線x+y+1=0上，且PQ所在直線與直線x+y+1=0垂直，據此列列方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}-3}{{x}_{0}-2}×（-1）=-1}\\{\frac{{x}_{0}+2}{2}+\frac{{y}_{0}+3}{2}+1=0}\end{array}\right.$，解之即可求得Q（-4，-3），從而可求得光線的反射線所在的直線方程．

解答 解：光線的入射線PA方程為$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-1}{2-1}$，即2x-y-1=0．
設點P關于直線x+y+1=0的對稱點的坐標為Q（x₀，y₀），則PQ的中點M（$\frac{2+{x}_{0}}{2}$，$\frac{3+{y}_{0}}{2}$），
∵直線x+y+1=0的斜率k=-1，
依題意，PQ的中點在直線x+y+1=0上，且PQ所在直線與直線x+y+1=0垂直，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{y}_{0}-3}{{x}_{0}-2}×（-1）=-1}\\{\frac{{x}_{0}+2}{2}+\frac{{y}_{0}+3}{2}+1=0}\end{array}\right.$，
解得Q（-4，-3），
∵反射光線經過A、Q兩點，
∴反射光線所在直線的方程為4x-5y+1=0．
故答案為2x-y-1=0；4x-5y+1=0．

點評 本題考查點關于線的對稱與直線關于直線對稱的直線方程，考查方程組思想與運算能力，屬于中檔題．