Question

10．已知點A（0，-2），橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，O為坐標原點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設過點A的動直線與橢圓E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設出F，由直線AF的斜率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$求得c，結合離心率求得a，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）當l⊥x軸時，不合題意；當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx-2，聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于0求得k的范圍，再由弦長公式求得|PQ|，由點到直線的距離公式求得O到l的距離，代入三角形面積公式，化簡后換元，利用基本不等式求得最值，進一步求出k值，則直線方程可求．

解答 解：（1）設F（c，0），$\frac{2}{c}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，解得$c=\sqrt{3}$，又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴a=2，b=1，
∴橢圓E：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）當l⊥x軸時，不合題意；
當直線l斜率存在時，設直線l：y=kx-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16kx+12=0．
由△=16（4k²-3）＞0，得${k^2}＞\frac{3}{4}$，即$k＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或k$＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16k}{1+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，
從而$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{16k}{{1+4{k^2}}}）}^2}-4•\frac{12}{{1+4{k^2}}}}$
=$\frac{{4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$，
又點O到直線PQ的距離$d=\frac{2}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴△OPQ的面積$S=\frac{1}{2}d•|PQ|=\frac{{4\sqrt{4{k^2}-3}}}{{4{k^2}+1}}$，
設$\sqrt{4{k^2}-3}=t$，則t＞0，
∴$S=\frac{4t}{{{t^2}+4}}=\frac{4}{{t+\frac{4}{t}}}≤\frac{4}{4}=1$，當且僅當t=2，
即$k=±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$時，等號成立，且△＞0．
此時$l：y=\frac{{\sqrt{7}}}{2}x-2，y=-\frac{{\sqrt{7}}}{2}x-2$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了利用換元法和基本不等式求最值，是中檔題．