Question

已知函數（）．

（Ⅰ）當時，求的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）若函數在上有兩個零點，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）若函數的圖象與軸有兩個不同的交點，且，

求證：（其中是的導函數）．

 

Answer 1

（Ⅰ）; （Ⅱ）實數的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數的導數，確定切線的斜率和切點的坐標，寫出切線的點斜式方程;（Ⅱ）由題設知，利用其導數研究函數在區間上的單調性與極值和區間端點外的函數值，結合函數圖象的示意圖確定函數在上有兩個零點的條件：

，解出實數的取值范圍；

（Ⅲ）設的圖象與軸交于兩個不同的點所以方程的兩個根為，則，兩式相減得結合

消去可得：，以下只需要用構造法證明即可．

試題解析：【解析】
（Ⅰ）當時，，，切點坐標為，

切線的斜率，則切線方程為，即． 2分

（Ⅱ），則，

∵，故時，．當時，；當時，．

故在處取得極大值． 4分

又，，，則，

所以，在上的最小值是 6分

在上有兩個零點的條件是，解得

所以實數的取值范圍是 8分

（Ⅲ）因為的圖象與軸交于兩個不同的點

所以方程的兩個根為，則，兩式相減得

，又，則

下證（*），即證明

即證明在上恒成立 10分

因為又，所以

所以，在上是增函數，則，從而知

故，即成立

考點：1、導數的幾何意義；2、導數在研究函數性質中的應用；3、構造法解決函數不等式的綜合問題．