Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，a₁=2，a₃-a₂=12，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=log₃

3n

2

+log₃a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）數(shù)列{c_n}滿足：c_n=

bn+1-bn

3 2 an-1

，求證：c₁+c₂+…+c_n＜

3

2

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出數(shù)列{a_n}的公比為q，由已知列式求出公比，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；                               
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入bn=log3

3n

2

+log3an，化簡后可得數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和求得答案；                              
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）有cn=

bn+1-bn

3 2 an-1

=

2

3n-1

，放縮得到

2

3n-1

≤

1

3n-1

，利用等比數(shù)列求和后證得答案．

解答： （Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁=2，a₃-a₁=12，
得2q²-2q-12=0，即q²-q-6=0．                                    
解得q=3或q=-2，
∵q＞0，
∴q=-2不合舍去，
∴an=2×3n-1；                                 
（Ⅱ）解：由bn=log3

3n

2

+log3an，得
bn=log3(

3n

2

×2×3n-1)=log332n-1=2n-1，
∴數(shù)列{b_n}是首項b₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，
∴Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2；                                                 
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）（Ⅱ）有cn=

bn+1-bn

3 2 an-1

=

2

3n-1

，
∵n≥1時，3^n-1≥1，
∴3ⁿ-1≥2×3^n-1，
∴

2

3n-1

≤

1

3n-1

，
則c1+c2+…+cn=

2

3-1

+

2

32-1

+…+

2

3n-1

≤

1

30

+

1

3

+…+

1

3n-1

=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．
∴原不等式成立．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和，訓練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．