Question

已知（x²-

1

5 x3

）⁵的展開式中的常數項為T，f（x）是以T為周期的偶函數，且當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區間[-1，3]內，函數g（x）=f（x）-kx-2k有4個零點，則實數k的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ]
• B、[0，

  1

  4

  ]
• C、（0，

  1

  5

  ]
• D、[0，

  1

  5

  ]

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,二項式系數的性質

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用,二項式定理

分析：先寫出其通項T_r+1=

C

r 5

（x²）^5-r（5-

1

2

x-3）^r=5-

r

2

C

r 5

x^10-5r，從而求出函數的周期；再由函數的零點與函數圖象的關系轉化為f（x）與r（x）=kx+2k有四個交點，從而求出實數k的取值范圍．

解答： 解：（x²-

1

5 x3

）⁵的通項T_r+1=

C

r 5

（x²）^5-r（5-

1

2

x-3）^r=5-

r

2

C

r 5

x^10-5r；
令10-5r=0得，r=2；
則常數項為

C

2 5

×

1

5

=2，
f（x）是以2為周期的偶函數，
因為區間[-1，3]是兩個周期，
所以在區間[-1，3]內函數g（x）=f（x）-kx-2k有4個零點，
可轉化為f（x）與r（x）=kx+2k有四個交點，
當k=0時，兩函數圖象只有兩個交點，不合題意；
當k≠0時，因為函數r（x）的圖象恒過點（-2，0），
則若使兩函數圖象有四個交點，
必有0＜r（3）≤1；
解得，0＜k≤

1

5

；
故選：C．

點評：本題考查了函數零點的判定定理及二項式定理的應用，屬于基礎題．