Question

已知函數f（x）=

1 2 x2+1 ，(x≥0) -ln(1-x)，(x＜0)

，若函數F（x）=f（x）-kx有且只有兩個零點，則k的取值范圍為（　�。�

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（

  1

  2

  ，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：求出雙曲線的漸近線方程，y=-ln（1-x）在x=0處的切線方程，即可得出結論．

解答： 解：由題意，x≥0，f（x）=

1

2

x2+1

為雙曲線4y²-x²=1在第一象限的部分，漸近線方程為y=±

1

2

x；
當k=1時，由y=-ln（1-x），可得y′=

1

1-x

=1可得x=0，即y=-ln（1-x）在x=0處的切線方程為y=x，
此時函數F（x）=f（x）-kx有且只有1個零點，
∴若函數F（x）=f（x）-kx有且只有兩個零點，則k的取值范圍為（

1

2

，1），
故選：C．

點評：本題考查函數的零點，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，知識綜合性強．