Question

用反證法證明下列命題：
（1）

2

不是有理數(shù)；
（2）在意的三角形中，至少有一個角大于或等于60°．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法

專題：綜合題,反證法,推理和證明

分析：（1）利用反證法假設(shè)

2

是有理數(shù)，進(jìn)而利用有理數(shù)的性質(zhì)分析得出矛盾，進(jìn)而得出答案；
（2）先設(shè)三角形中，三個內(nèi)角都小于60°，然后得出假設(shè)與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，從而證得原結(jié)論成立．

解答： 證明：（1）假設(shè)

2

是有理數(shù)，
故

2

可以表示為

a

b

（a，b均為整數(shù)且互質(zhì)），
則a²=2b²，
因?yàn)?b²是偶數(shù)，
所以a²是偶數(shù)，
所以a是偶數(shù)，
設(shè)a=2c，
則4c²=2b²，b²=2c²，
所以b也是偶數(shù)，這和a，b互質(zhì)矛盾．
所以

2

是無理數(shù)；
（2）假設(shè)一個三角形中沒有內(nèi)角大于或等于60°，
則∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
∴∠A+∠B+∠C＜180°，
這與三角形內(nèi)角和等于180°相矛盾，
故一個三角形中至少有一個內(nèi)角大于或等于60°

點(diǎn)評：此題主要考查了有理數(shù)無理數(shù)的概念與運(yùn)算，利用三角形內(nèi)角和定理考查反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．