Question

已知f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數，求a的值及函數值域．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由題意可得f（-1）+f（1）=0，可得a值，再由定義域和反比例函數以及不等式的性質可得函數的值域．

解答： 解：由2^x-1=≠0可得x≠0，可得函數的定義域為{x|x≠0}，
∵f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數，∴f（-1）+f（1）=0，
∴

1

2-1-1

+a+

1

21-1

+a=0，解得a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，
∵x≠0，∴2^x＞0且2^x≠1，
∴2^x-1＞-1且2^x-1≠0，
∴

1

2x-1

＞0或

1

2x-1

＜-1，
∴

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

或

1

2x-1

+

1

2

＜-

1

2

，
∴函數的值域為（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）

點評：本題考查函數的奇偶性和函數的值域，屬基礎題．