Question

若不等式x²-2y²≤cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實數x，y恒成立，則實數c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：不等式x²-2y²≤cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實數x、y恒成立，變形為c≤

x2-2y2

xy-x2

，利用換元法，構造新函數通過函數的導數，研究函數f（t）的單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵不等式x²-2y²≤cx（y-x）對任意滿足x＞y＞0的實數x、y恒成立，
∴c≤

x2-2y2

xy-x2

=

( x y )2-2

x y -( x y )2

，
令

x

y

=t＞1，
∴c≤

t2-2

t-t2

=f（t），
f′（t）=

t2-4t+2

(t-t2)2

=

(t-2+ 2 )(t-2- 2 )

(t-t2)2

，
當t＞2+

2

時，f′（t）＞0，函數f（t）單調遞增；當1＜t＜2+

2

時，f′（t）＜0，函數f（t）單調遞減．
∴當t=2+

2

時，f（t）取得最小值，f（2+

2

）=2

2

-4．
∴實數c的最大值為2

2

-4．
故答案為：（-∞，2

2

-4]．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．