Question

9．如果定義在R上的函數f（x），對任意x₁≠x₂都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂（fx₁），則稱函數為“H函數”，給出下列函數
①f（x）=3x+1      ②f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x+1
③f（x）=x²+1      ④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{x}，x＜-1}\\{{x}^{2}+4x+5，x≥-1}\end{array}\right.$ 
其中是“H函數”的有①④（填序號）

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數為單調遞增函數，判斷函數的單調性即可得到結論．

解答 解：∵對于任意給定的不等實數x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≥0恒成立，
即函數f（x）是定義在R上的不減函數（即無遞減區間）；
①f（x）在R遞增，符合題意；
②f（x）在R遞減，不合題意；
③f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，不合題意；
④f（x）在R遞增，符合題意；
故答案為：①④．

點評 本題主要考查函數單調性的應用，將條件轉化為函數的單調性的形式是解決本題的關鍵．