Question

5．已知函數f（x）=x+$\frac{4}{x}$（其中x＞0）．
（Ⅰ）求證：f（x）在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[2，4]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設x₁＞x₂≥2，可得：x₁x₂＞4，由于f（x₁）-f（x₂）＞0，即可證明f（x）在[2，+∞）為單調增函數．同理可證f（x）在（0，2]上是減函數，
（Ⅱ）函數f（x）在區間[2，4]上為增函數，計算f（2），f（4）的值即可得解值域．

解答 證明：（Ⅰ）設x₁＞x₂≥2，所以x₁x₂＞4，
則：$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-{x_2}-\frac{4}{x_2}$=${x_1}-{x_2}+\frac{4}{x_1}-\frac{4}{x_2}={x_1}-{x_2}-\frac{{4（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）\frac{{（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}＞0$
所以f（x）在[2，+∞）為單調增函數．
同理f（x）在（0，2]上是減函數，
（Ⅱ）因為：函數f（x）在區間[2，4]上為增函數，
f（2）=2+2=4，f（4）=4+1=5，
所以：值域為[4，5]．

點評 本題的考點是函數單調性的判斷與證明及函數的值域的求法，本題采取了定義法證明，考查了轉化思想，屬于基礎題．