Question

（本題滿(mǎn)分15分） 如圖，在中，°，，，，分別是，上的點(diǎn)，且，，將沿折起到的位置，使，如圖．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若是的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小；

（Ⅲ）點(diǎn)是線(xiàn)段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且垂直于平面，求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）與平面所成角的大小；（Ⅲ）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離有最小值.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求證：平面，只需證明垂直平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)即可，而，只需再找一條直線(xiàn)垂直即可，結(jié)合折疊前圖形可知，平面，可得，從而可得平面；（Ⅱ）求與平面所成角的大小，可用向量法來(lái)求，注意到這三條直線(xiàn)兩兩垂直，因此可以它們建立如圖空間坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得向量，設(shè)平面法向量為，求出一個(gè)法向量，利用線(xiàn)和面所成角的正弦值等于線(xiàn)和法向量所成角的余弦值，即可；（Ⅲ）點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值，像這種點(diǎn)不確定可用向量法來(lái)解，先確定點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)，，，可得在直線(xiàn)上的射影為的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式，與二次函數(shù)可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離有最小值.

試題解析：（Ⅰ）由題，，

平面，又平面，

又，

平面．

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，

，，∴，

設(shè)平面法向量為

則 ∴ ∴

∴不妨取又∵

∴

∴，

∴與平面所成角的大小．

（Ⅲ）設(shè)，則，

由題，即

設(shè)，，

設(shè)，即=

，，

即，，

設(shè)點(diǎn)在直線(xiàn)上的射影為， 則

點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的平方

由題，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離有最小值

考點(diǎn)：線(xiàn)面垂直的判定，線(xiàn)面角的求法，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.