Question

5．已知函數f（x）=x²+2x-a與g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象有兩個不同的交點，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]
• B． [$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，e²-2]
• C． （1，e²-2]
• D． [e²-2，+∞）

Answer 1

分析 若函數f（x）=x²+2x-a與g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象有兩個不同的交點，x²-2lnx=a（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有兩個根，令g（x）=x²-2lnx，利用導數法分析函數的單調性和最值，可得答案．

解答 解：若函數f（x）=x²+2x-a與g（x）=2x+2lnx（$\frac{1}{e}$≤x≤e）的圖象有兩個不同的交點，
則x²-2lnx=a（$\frac{1}{e}$≤x≤e）有兩個根，
令g（x）=x²-2lnx，
則g′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
當$\frac{1}{e}$≤x＜1時，g′（x）＜0，函數g（x）=x²-2lnx為減函數，
當1＜x≤e時，g′（x）＞0，函數g（x）=x²-2lnx為增函數，
故當x=1時，g（x）=x²-2lnx取最小值1，
又由g（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{{e}^{2}}$+2，g（e）=e²-2，
$\frac{1}{{e}^{2}}$+2＜e²-2，
故a∈（1，$\frac{1}{{e}^{2}}$+2]，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及個數判斷，利用導數求閉區間上函數的最值，難度中檔．