Question

17．平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點F作直線$x+y-\sqrt{2}=0$交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為$\frac{1}{2}$．
（1）求M的方程；
（2）設直線x-my+1=0交橢圓M于C，D兩點，判斷點$G（-\frac{9}{4}，0）$與以線段CD為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．將A、B代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，相減可得：a²=2b²，又c=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，解得即可得出．
（2）設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\overrightarrow{GC}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{GD}$=$（{x}_{2}+\frac{9}{4}，{y}_{2}）$．直線方程與橢圓方程聯立化為（m²+2）y²-2my-3=0，利用根與系數的共線及其數量積運算性質即可判斷出結論．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，${y}_{0}=\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-1．
將A、B代入橢圓方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
相減可得：（1）-（2）得到$-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$=-1，
又OP的斜率為$\frac{1}{2}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∴a²=2b²，又c=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，b²=2．
得到標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）設點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\overrightarrow{GC}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{GD}$=$（{x}_{2}+\frac{9}{4}，{y}_{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²-2my-3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-3}{{m}^{2}+2}$，
從而$\overrightarrow{GC}•\overrightarrow{GD}$=$（{x}_{1}+\frac{9}{4}）（{x}_{2}+\frac{9}{4}）$+y₁y₂=$（m{y}_{1}+\frac{5}{4}）$$（m{y}_{2}+\frac{5}{4}）$+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+$\frac{5}{4}m（{y}_{1}+{y}_{2}）$+$\frac{25}{16}$=$\frac{-3（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{5{m}^{2}}{2（{m}^{2}+2）}$+$\frac{25}{16}$=$\frac{17{m}^{2}+2}{16（{m}^{2}+2）}$＞0．
又$\overrightarrow{GC}$，$\overrightarrow{GD}$不共線．
∴∠AGB為銳角．
故點G在以AB為直徑的圓外．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次的根與系數的共線、數量積運算性質、點與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．