Question

9．設函數f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函數y=f（x）在x=1處與直線y=-1相切．
（Ⅰ） 求實數a，b的值；
（Ⅱ） 求函數y=f（x）在$[{\frac{1}{e}，e}]$上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數，根據函數y=f（x）在x=1處與直線y=-1相切，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（Ⅱ）求出f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-2bx$…（1分），
∵函數y=f（x）在x=1處與直線y=-1相切．
∴$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=a-2b=0\\ f（1）=-b=-1\end{array}\right.$…（3分），
解得：a=2，b=1…（4分），
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，$f（x）=2lnx-{x^2}，f'（x）=\frac{2}{x}-2x=\frac{{2（{1-{x^2}}）}}{x}$．
令f（x）=0，∵x＞0，∴x=1…（5分），
當$x∈（{\frac{1}{e}，1}），f'（x）＞0，x∈（{1，e}），f'（x）＜0$，
∴x=1為函數y=f（x）的極大值點，…（8分），
又$f（1）=-1，f（{\frac{1}{e}}）=-2-\frac{1}{e^2}＜-1$，f（e）=2-e²＜-1，
∴[f（x）]_max=f（1）=-1…（10分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．