Question

2．已知雙曲線C：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右焦點為F，P是雙曲線C的左支上一點，M（0，2），則△PFM周長最小值為$2+4\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設雙曲線的左焦點為F'，求出雙曲線的a，b，c，運用雙曲線的定義可得|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，考慮P在左支上運動到與A，F'共線時，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的左焦點為F'，
由雙曲線C：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$可得a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2，
即有F（2，0），F'（-2，0），
△PFM周長為|PM|+|PF|+|MF|=|PM|+|PF|+2$\sqrt{2}$，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PM|+|PF|=|PM|+|PF'|+2，
當P在左支上運動到M，P，F'共線時，
|PM|+|PF'|取得最小值|MF'|=2$\sqrt{2}$，
則有△APF周長的最小值為2+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=2+4$\sqrt{2}$．
故答案為：$2+4\sqrt{2}$

點評 本題考查三角形的周長的最小值，注意運用雙曲線的定義和三點共線時取得最小值，考查運算能力，屬于中檔題．