Question

10．已知曲線C上任意一點P到點F（1，0）的距離比到直線x=-3的距離小2．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）若斜率k＞2的直線l過點F且交曲線C為A、B兩點，當線段AB的中點M到直線l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距離為$\frac{1}{13}$時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得：P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-1的距離相等，由拋物線的定義得曲線C為拋物線，即可求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）聯立直線方程與拋物線方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0，利用線段AB的中點M到直線l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距離為$\frac{1}{13}$，用k表示a，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-1的距離相等
∴由拋物線的定義得曲線C為拋物線，$\frac{p}{2}$=1
∴軌跡方程為：y²=4x．　　　　　　　　　　 …4分
（Ⅱ）由已知得直線l：y=k（x-1）（k＞2）
聯立直線方程與拋物線方程，消去y，得 k²x²-2（k²+2）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），
則x₀=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，y₀=$\frac{2}{k}$
于是點M到直線l′的距離為$\frac{|5{x}_{0}+12{y}_{0}+a|}{\sqrt{13}}$=$\frac{1}{13}$
由 k＞2及a＞-5得：$\frac{10}{{k}^{2}}$+$\frac{24}{k}$+a+5=1
即a=-$\frac{10}{{k}^{2}}$-$\frac{24}{k}$-4=-10$（\frac{1}{k}+\frac{6}{5}）^{2}$+$\frac{52}{5}$，
由k＞2知$\frac{6}{5}＜\frac{1}{k}+\frac{6}{5}＜\frac{17}{10}$
∴-$\frac{37}{2}$＜a＜-4  
∴由a＞-5得：a的取值范圍為（-5，-4）．　…12分

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，根據線段AB的中點M到直線l′：5x+12y+a=0（a＞-5）的距離為$\frac{1}{13}$，確定a，k的關系是關鍵．