Question

1．已知矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，BC=1，現沿對角線BD折成二面角C-BD-A，使AC=1

（I）求證：DA⊥面ABC
（II）求二面角A-CD-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出∠DAB=90°，DA⊥AC，由此能證明DA⊥面ABC．
（Ⅱ）取AB，DB的中點O，N，則直線OC，ON，OA兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的大小．

解答 證明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，BC=1，現沿對角線BD折成二面角C-BD-A，使AC=1，
∴∠DAB=90°，$DA=1，DC=\sqrt{2}$，
∴DC²=AC²+DA²，則DA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴DA⊥面ABC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知DA⊥面ABC，則平面CAB⊥平面ABD，
又AC=BC，∠DAB=90°，取AB，DB的中點O，N，
則直線OC，ON，OA兩兩垂直，建立如圖所示的直角坐標系，
則$A（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$D（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$$C（0，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$B（0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，
則$\overrightarrow{DC}=（-1，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BD}=（1，\sqrt{2}，0）$，
設平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-x-\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-1，1），
設平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=-a-\frac{\sqrt{2}}{2}b+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0-1+1=0，
∴平面ACD⊥平面BCD，
∴二面角A-CD-B的大小為$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．