Question

1．如圖，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC將梯形DCFE折起，使得平面DCFE⊥平面ABCD．
（1）證明：AC∥平面BEF；
（2）求三棱錐D-BEF的體積；
（3）求直線AF與平面BDF所求的角．

Answer 1

分析 （1）取BF的中點M，設AC與BD交點為O，連接MO，ME，推導出四邊形OCEM為平行四邊形，從而EM∥AC，由此能證明AC∥平面BEF．
（2）推導出BC⊥平面DEF，從而三棱錐D-BEF的體積為${V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•BC$，由此能求出結果．
（3）推導出FD⊥平面ABCD，AC⊥DF，AC⊥平面BDF，連結FO，則AF與平面BDF所成角為∠AFO，由此能求出直線AF與平面BDF所求的角的大小．

解答 證明：（1）如圖，取BF的中點M，設AC與BD交點為O，連接MO，ME．
由題設知，CE$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DF，MO$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$DF，∴CE$\underset{∥}{=}$MO，
∴四邊形OCEM為平行四邊形，∴EM∥CO，即EM∥AC．
又AC?平面BEF，EM?平面BEF，
∴AC∥平面BEF…（4分）
解：（2）∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，
∴BC⊥平面DEF．
∴三棱錐D-BEF的體積為：
${V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}{S_{△DEF}}•BC=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{4}{3}$…（8分）
（3）∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，
又FD⊥CD，∴FD⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴AC⊥DF
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDF，
連結FO，∵AF與平面BDF所成角為∠AFO，又AB=AD=DF=2，
∴$AO=\sqrt{2}，FO=\sqrt{6}$，$tan∠AFO=\frac{AO}{FO}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$∠AFO=\frac{π}{6}$，
∴直線AF與平面BDF所求的角為$\frac{π}{6}$．…（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查線面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想，是中檔題．