Question

13．若變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2≥0\\ x+y-2≤0\\ x-y≥0\end{array}\right.$，則$\frac{x+1}{x+y+1}$的最小值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 首先畫出可行域，化簡目標函數，通過區域內的點與定點（-1，0）連接的直線的斜率解答即可．

解答 解：畫出變量x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}2x+y-2≥0\\ x+y-2≤0\\ x-y≥0\end{array}\right.$，的可行域如圖：

目標函數$\frac{x+1}{x+y+1}$=$\frac{1}{1+\frac{y}{x+1}}$，$\frac{y}{x+1}$的幾何意義是過區域內的點與定點（-1，0）
連接的直線的斜率，
斜率最大值時，則$\frac{x+1}{x+y+1}$取得最小值，
由其幾何意義得到A與D（-1，0）連接的直線斜率最大，
所以最小值為$\frac{0+1}{0+2+1}$=$\frac{1}{3}$；
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了可行域的畫法以及利用目標函數的幾何意義求最值；本題解答的關鍵是明確目標函數的幾何意義．