Question

5．下面是關于公差d＞0的等差數列{a_n}的四個命題：p₁：數列{a_n}是遞增數列；p₂：數列{a_n}的前n項和S_n是遞增數列；p₃：數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞增數列；p₄：數列{a_n+nd}是遞增數列．其中的真命題為（　　）

• A． p₁，p₂
• B． p₃，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₁，p₄

Answer 1

分析 p_1，由a_n+1＞a_n，得數列{a_n}是遞增數列．
p₂，s_n=$\fracp9vv5xb5{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}）n$，根據二次函數的單調性可知，在n∈N⁺不一定單調遞增．
p₃.$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，當a₁-d＞0時，數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞減數列．
p_4，由[a_n+1+（n+1）d]-[a_n+nd]=2d，得數列{a_n+nd}是遞增數列．

解答 解：對于p₁，∵d＞0，∴d=a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，∴數列{a_n}是遞增數列，p₁是真命題．
對于p₂，s_n=$\fracp9vv5xb5{2}{n}^{2}+（{a}_{1}-\fracp9vv5xb5{2}）n$，根據二次函數的單調性可知，在n∈N⁺不一定單調遞增，故p₂是假命題．
對于p₃.$\frac{{a}_{n}}{n}=d+\frac{{a}_{1}-d}{n}$，當a₁-d＞0時，數列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是遞減數列，故p₃是假命題．
對于p₄，∵[a_n+1+（n+1）d]-[a_n+nd]=2d，∴數列{a_n+nd}是遞增數列．故p₄是真命題．
故選：D．

點評 本題考查數列的單調性，考查簡易邏輯的全稱性和存在性命題的真假，考查推理和判斷能力，屬于中檔題和易錯題．