Question

10．若向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$，則$\overrightarrow a•\overrightarrow c+\overrightarrow b•\overrightarrow c$的最大值是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 運用向量的數量積的定義可得$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞={135°}$，不妨設$\overrightarrow a=（1，1）$，$\overrightarrow b=（-1，0）$，設$\overrightarrow c=（x，y）$，運用向量的數量積的加減和數量積的坐標表示，計算即可得到所求最大值．

解答 解：根據題意，向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-1$，
可得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}}$，
由于0°≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞≤180°，
即有$＜\overrightarrow a，\overrightarrow b＞={135°}$，不妨設$\overrightarrow a=（1，1）$，$\overrightarrow b=（-1，0）$，
設$\overrightarrow c=（x，y）$，且x²+y²=3，易知$|y|≤\sqrt{3}$
則$\overrightarrow a•\overrightarrow c+\overrightarrow b•\overrightarrow c=（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•\overrightarrow c=（0，1）•（x，y）=y≤\sqrt{3}$．
當x=0，y=$\sqrt{3}$時，取得最大值$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，以及向量的數量積的坐標表示，以及不等式的性質，屬于中檔題．