Question

7．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=1，AB=AD=2，E，F分別是棱AB，BC的中點，證明A₁，C₁，F，E四點共面，并求點B到平面A₁EF的距離．

Answer 1

分析 連接AC，因為E，F分別是AB，BC的中點，可得EF∥A₁C₁，即A₁、C₁、F、E四點共面．
設點B到平面A₁EF的距離為d，
由V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$=V${\;}_{F-{A}_{1}EB}$，⇒$\frac{1}{3}×{s}_{{△A}_{1}EF}×d=\frac{1}{3}{s}_{△{A}_{1}EB}×FB$，可得點B到平面A₁EF的距離

解答 解：連接AC，因為E，F分別是AB，BC的中點，所以EF是△ABC的中位線，所以EF∥AC．由長方體的性質知AC∥A₁C₁，
所以EF∥A₁C₁，所以A₁、C₁、F、E四點共面．
設點B到平面A₁EF的距離為d，
∵V${\;}_{B-{A}_{1}EF}$=V${\;}_{F-{A}_{1}EB}$，⇒$\frac{1}{3}×{s}_{{△A}_{1}EF}×d=\frac{1}{3}{s}_{△{A}_{1}EB}×FB$
∵${A}_{1}E=EF=\sqrt{2}$，${A}_{1}F=\sqrt{A{A}^{2}+A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，∴${s}_{△{A}_{1}EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
${s}_{△{A}_{1}EB}=\frac{1}{2}{s}_{△{A}_{1}AB}=\frac{1}{2}$
∴$d=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴點B到平面A₁EF的距離d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查了空間四點共面的判定，等體積法求點面距離，屬于中檔題