Question

19．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{3π}{4}$，求（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$ 與$\overrightarrow{a}$垂直，求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據平面向量數量積的定義，計算即可；
（2）根據兩向量垂直，數量積為0，列出方程求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$夾角的余弦值和夾角的大小．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{3π}{4}$時，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1×$\sqrt{2}$×cos$\frac{3π}{4}$=-1，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=1-1+2=2；
（2）若$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$ 與$\overrightarrow{a}$垂直，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{a}$=0，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即1-1×$\sqrt{2}$×cosθ=0，
解得cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
又θ∈[0，π]，
∴θ=$\frac{π}{4}$，
即$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了平面向量數量積的定義與運算問題，是基礎題．