Question

8．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，不等式${x^2}cosC+2xsinC+\frac{3}{2}≥0$對一切實數x恒成立．
（1）求cosC的取值范圍；
（2）當∠C取最大值，且△ABC的周長為9時，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知條件及二次函數的性質得cosC＞0，且2cos²C+3cosC-2≥0，由此解得cosC的值． 
（2）根據角C的范圍可得當∠C取最大值時∠C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理和基本不等式求得ab≤9，從而得到△ABC面積的最大值，根據不等式中等號成立條件判斷△ABC的形狀．

解答 解：（1）當cosC=0時，sinC=1，
原不等式即為$2x+\frac{3}{2}≥0$對一切實數x不恒成立，
當cosC≠0時，應有$\left\{\begin{array}{l}cosC＞0\\△=4{sin^2}C-6cosC≤0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}cosC＞0\\ 2{cos^2}C+3cosC-2≥0\end{array}\right.$，
解得$cosC≥\frac{1}{2}$或cosC≤-2（舍去），
∵0＜C＜π，
∴$\frac{1}{2}≤cosC＜1$．
（2）∵0＜C＜π，$\frac{1}{2}≤cosC＜1$，
∴∠C的最大值為$\frac{π}{3}$．
此時$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}}=\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}$，
∴$9=a+b+c=a+b+\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}≥2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab-ab}=3\sqrt{ab}$，
∴ab≤9（當且僅當a=b時取等號）．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$（當且僅當a=b時取等號）．
此時，△ABC面積的最大值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，△ABC為等邊三角形．

點評 本題考查同角三角函數的基本關系的應用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得應用，考查了轉化思想，求出角C的最大值是解題的關鍵，屬于中檔題．