Question

18．已知等比數列{a_n}的各項為正數，且 9a₃²=a₂a₆，a₃=2a₂+9．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據等比數列的性質計算首項和公比，得出通項公式；
（2）利用對數運算性質計算b_n，使用裂項法求和．

解答 解：（1）設數列N的公比為q，
∵9a₃²=a₂a₆，即9a₂²q²=a₂•a₂q⁴，解得q²=9．
又q＞0，則q=3，
∵a₃=2a₂+9，即9a₁=6a₁+9，解得a₁=3，
∴${a_n}={3^n}$．
（2）a₁a₂…a_n=3^1+2+3+…+n=3${\;}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log₃（a₁a₂…a_n）=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{b_n}=\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴${S_n}=2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]=2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數列的性質，數列求和，屬于中檔題．