Question

2．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，求：
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）；
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|；
（3）|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 運用向量數量積的定義，可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-4，由向量數量積的性質：向量的平方即為模的平方，計算即可得到
（1）、（2）、（3）的值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夾角為120°，且|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=2，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4×2×cos120°=-8×$\frac{1}{2}$=-4，
（1）（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$²-2$\overrightarrow{b}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=16-2×4+4=12；
（2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{16+4-2×4}$=2$\sqrt{3}$；
（3）|3$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-24\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+16{\overrightarrow{b}}^{2}}$
=$\sqrt{9×16+24×4+16×4}$=4$\sqrt{19}$．

點評 本題考查向量的數量積的定義和性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．