Question

3．已知函數f（x）=axe^x-（a-1）（x+1）²（a∈R，e為自然對數的底數，e=2.7181281…）．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）僅有一個極值點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據導數和函數的單調性的關系即可求出，
（2）先求導，再令f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*），根據ae^x-2a+2=0（*）無解即可求出a的范圍．

解答 解：（1）由題知，f（x）=-xe^x+2（x+1）²，
f'（x）=-e^x-xe^x+4（x+1）=（x+1）（4-e^x），
由f'（x）=0得到x=-1或x=ln4，
而當x＜ln4時，（4-e^x）＞0，x＞ln4時，（4-e^x）＜0，列表得：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln4）	ln4	（ln4，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極大值	↗	極小值	↘

所以，此時f（x）的減區間為（-∞，-1），（ln4，+∞），增區間為（-1，ln4）；
（2）f'（x）=ae^x+axe^x-2（a-1）（x+1）=（x+1）（ae^x-2a+2），
由f'（x）=0得到x=-1或ae^x-2a+2=0（*）
由于f（x）僅有一個極值點，
關于x的方程（*）必無解，
①當a=0時，（*）無解，符合題意，
②當a≠0時，由（*）得e^x=$\frac{2a-2}{a}$，故由 $\frac{2a-2}{a}$≤0得0＜a≤1，
由于這兩種情況都有，當x＜-1時，f'（x）＜0，于是f（x）為減函數，
當x＞-1時，f'（x）＞0，于是f（x）為增函數，
∴僅x=-1為f（x）的極值點，
綜上可得a的取值范圍是[0，1]．

點評 本題考查了導數和函數的單調性和關系和一級函數的極值的問題，考查了分類討論的思想，屬于中檔題．