Question

7．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別是F₁，F₂，且離心率為$\frac{1}{2}$，點P為橢圓上一動點，△F₁PF₂內切圓面積的最大值是$\frac{π}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A是橢圓C的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交C于A．M兩點，點N在C上，MA⊥NA，且|AM|=|AN|．求△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，由△F₁PF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$r（丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨）=$\frac{1}{2}$r（2a+2c），當S最大，則r最大，由πr²=$\frac{π}{3}$，解得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則S_max=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（2a+2c），則bc=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+c），即b=$\sqrt{3}$，由a²=b²+c²，則a=2，b=1，即可求得橢圓的方程；
（2）由題意可知：設y=k（x+2），代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式丨AM丨，丨AN丨由|AM|=|AN|，即求得k的值，由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}{|{AM}|^2}=\frac{1}{2}{（{\sqrt{1+1}•\frac{12}{3+4}}）^2}=\frac{144}{49}$．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦點在x軸，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，
設△F₁PF₂內切圓半徑為r，
由△F₁PF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$r（丨PF₁丨+丨PF₂丨+丨F₁F₂丨）=$\frac{1}{2}$r（2a+2c）
∴當S最大，則r最大，
當P為橢圓上下頂點時，△F₁PF₂的面積最大，其內切圓面積取得最大值，
∵πr²=$\frac{π}{3}$，解得：r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
△F₁PF₂的面積最大值S_max=$\frac{1}{2}$•2c•b=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$•（2a+2c），
整理得：bc=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（a+c），
則bc=$\sqrt{3}$c，解得：b=$\sqrt{3}$
由a²=b²+c²，則a=2，b=1，
∴橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）則直線AM的方程為：y=k（x+2）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=k（{x+2}）\end{array}\right.$，整理得，（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
解得：x=-2或$x=-\frac{{8{k^2}-6}}{{3+4{k^2}}}$，
則$|{AM}|=\sqrt{1+{k^2}}|{-\frac{{8{k^2}-6}}{{3+4{k^2}}}+2}|=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3+4{k^2}}}$，
∵AM⊥AN，
∴$|{AN}|=\sqrt{1+{{（{-\frac{1}{k}}）}^2}}•\frac{12}{{3+4•{{（{1-\frac{1}{k}}）}^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3|k|+\frac{4}{|k|}}}$，
∵|AM|=|AN|，k＞0，
∴$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{12}{{3k+\frac{4}{k}}}$，
整理得（k-1）（4k²-k+4）=0，4k²-k+4=0無實根，
∴k=1．
△AMN的面積為S=$\frac{1}{2}{|{AM}|^2}=\frac{1}{2}{（{\sqrt{1+1}•\frac{12}{3+4}}）^2}=\frac{144}{49}$．
△AMN的面積$\frac{144}{49}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質的應用，考查焦點三角形的面積公式及最值，三角形內切圓面積的最值，考查計算能力，屬于中檔題．