Question

12．若關于x的不等式x²+ax-2＞0在區間[1，2]上有解，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-∞，1）
• C． （1，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 用分離常數法得出不等式a＞$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上成立，根據函數f（x）=$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上的單調性，即可求出a的取值范圍．

解答 解：關于x的不等式x²+ax-2＞0在區間[1，2]上有解，
∴ax＞2-x²在x∈[1，2]上有解，
即a＞$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上成立；
設函數f（x）=$\frac{2}{x}$-x，x∈[1，2]，
∴f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-1＜0恒成立，
∴f（x）在x∈[1，2]上是單調減函數，
且f（x）的值域為[-1，1]，
要a＞$\frac{2}{x}$-x在x∈[1，2]上有解，則a＞-1，
即實數a的取值范圍為（-1，+∞）．
故選：D．

點評 本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性題目．