Question

2．某天數學課上，你突然驚醒，發現黑板上有如下內容：
例：求x³-3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3$\root{3}{abc}$，得到x³+1+1≥3x，于是x³-3x=x³+1+1-3x-2≥3x-3x-2=-2，當且僅當x=1時，取到最小值-2
（1）老師請你模仿例題，研究x⁴-4x，x∈[0，+∞）上的最小值；
（提示：a+b+c+d≥4$\root{4}{abcd}$）
（2）研究$\frac{1}{9}$x³-3x，x∈[0，+∞）上的最小值；
（3）求出當a＞0時，x³-ax，x∈[0，+∞）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據新定義可得x⁴-4x=x⁴+1+1+1-4x-3，解得即可，
（2）根據新定義可得$\frac{1}{9}$x³-3x=$\frac{1}{9}$x³+3+3-3x-6，解得即可，
（3）根據新定義可得x³-ax=x³+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$-ax-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$，解得即可．

解答 解：（1）x⁴-4x=x⁴+1+1+1-4x-3≥4x-4x-3=-3，當且僅當x=1時，取到最小值-3，
（2）$\frac{1}{9}$x³-3x=$\frac{1}{9}$x³+3+3-3x-6≥3x-3x-6=-6，當且僅當x=3時，取到最小值-6，
（3）x³-ax=x³+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$+$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$-ax-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$≥ax-ax-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$=-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$，當且僅當x=$\frac{a\sqrt{a}}{3\sqrt{3}}$時，取到最小值-$\frac{2a\sqrt{3a}}{9}$

點評 本題考查了合情推理的問題，關鍵時掌握新定義，屬于中檔題．