Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$2asinA=（{2b+\sqrt{2}c}）sinB+（{2c+\sqrt{2}b}）sinC$．
（1）求A的大��；
（2）若$a=3\sqrt{10}，b=3\sqrt{2}$，D是BC的中點，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，得${a^2}={b^2}+{c^2}+\sqrt{2}bc$，結合余弦定理可得：cosA=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，結合范圍0＜A＜π，即可得解A的值．
（2）由已知及（1）利用余弦定理可求c的值，又$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），平方后即可得解AD的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）由正弦定理，得：$2asinA=（{2b+\sqrt{2}c}）sinB+（{2c+\sqrt{2}b}）sinC⇒2{a^2}=（{2b+\sqrt{2}c}）b+（{2c+\sqrt{2}b}）c$，
即${a^2}={b^2}+{c^2}+\sqrt{2}bc$，…（2分）
由余弦定理可得：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-\sqrt{2}bc}{2bc}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…4分
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{3π}{4}$…5分
（2）將$a=3\sqrt{10}，b=3\sqrt{2}$，代入a²=b²+c²+$\sqrt{2}$bc，可得：c²+6c-72=0，
因為c＞0，所以c=6…（6分）
又∵$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∴|$\overrightarrow{AD}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）²=$\frac{1}{4}$（c²+2cbcosA+b²）=$\frac{9}{2}$，
所以$AD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．…（10分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理以及平面向量的運算在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．