Question

2．已知z為復數，z+i和$\frac{z}{2-i}$均為實數，其中i是虛數單位．
（Ⅰ）求復數z和|z|；
（Ⅱ）若${z_1}=\overline z+\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$在第四象限，求m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）z=a+bi（a，b∈R），代入z+i和$\frac{z}{2-i}$利用復數代數形式的乘除運算化簡，由虛部為0列式求得a，b的值，則復數z和|z|可求；
（Ⅱ）把$\overline{z}$代入${z_1}=\overline z+\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$，利用復數代數形式的加減運算化簡，由實部大于0且虛部小于0聯立不等式組求解．

解答 解：（Ⅰ）設z=a+bi（a，b∈R），
則z+i=a+（b+1）i，$\frac{z}{2-i}$=$\frac{a+bi}{2-i}=\frac{（a+bi）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2a-b}{5}+\frac{a+2b}{5}i$．
∵z+i和$\frac{z}{2-i}$均為實數，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b+1=0}\\{a+2b=0}\end{array}\right.$，解得a=2，b=-1．
∴z=2-i，|z|=$\sqrt{5}$；
（Ⅱ）∵${z_1}=\overline z+\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$=2+i+$\frac{1}{m-1}-\frac{7}{m+2}i$=$\frac{2m-1}{m-1}+\frac{m-5}{m+2}i$在第四象限，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2m-1}{m-1}＞0}\\{\frac{m-5}{m+2}＜0}\end{array}\right.$，解得-2＜m＜$\frac{1}{2}$或1＜m＜5．

點評 本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數模的求法，是基礎題．