Question

11．某企業用180萬元購買一套新設備，該套設備預計平均每年能給企業帶來100萬元的收入，維護設備的正常運行第一年各種費用約為10萬元，且從第二年開始每年比上一年所需費用要增加10萬元．
（1）求該設備給企業帶來的總利潤y（萬元）與使用年數x（x∈N^*）的函數關系；
（2）這套設備使用多少年，可使年平均利潤最大？

Answer 1

分析 （1）求出x年的總收入及維護等總費用，可得總利潤y與使用年數x（x∈N^*）的函數關系；
（2）年平均利潤為$\frac{y}{x}$，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由題意知，x年總收入為100x萬元，
x年維護等總費用為10（1+2+3+…+x）=5x（x+1）萬元，
∴總利潤y=100x-5x（x+1）-180，x∈N^*，
即y=-5（x²-19x+36），x∈N^*；
（2）年平均利潤為$\frac{y}{x}=-5（x+\frac{36}{x}）+95$，
∵x＞0，∴$x+\frac{36}{x}≥2\sqrt{x•\frac{36}{x}}=12$，
當且僅當$x=\frac{36}{x}$，即x=6時取“=”號．
∴$\frac{y}{x}≤35$．
答：這套設備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元．

點評 本題考查函數模型的選擇及其應用，考查簡單的數學建模思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．