Question

12．已知數(shù)列{a_n}為1，3，7，15，31，…，2ⁿ-1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n=a_n-a_n-1，則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n-1項和S_n-1為2-2^2-n（n≥2）．

Answer 1

分析 a_n=2ⁿ-1．數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，n≥2時b_n=a_n-a_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，（n=1時也成立）．可得b_n=2^n-1．利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：a_n=2ⁿ-1．
數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，n≥2時b_n=a_n-a_n-1=2ⁿ-1-（2^n-1-1）=2^n-1，（n=1時也成立）．
∴b_n=2^n-1．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴數(shù)列$\left\{{\frac{1}{b_n}}\right\}$的前n-1項和S_n-1=1+$\frac{1}{2}×$$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n-2}}{1-\frac{1}{2}}$=2-2^2-n（n≥2）．
故答案為：2-2^2-n（n≥2）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．