Question

從2012年開始，歐盟規定對汽車CO₂的排放量超過130g/km（排放量超標）的新車進行懲罰，某檢測部門對甲、乙兩種型號的新車分別隨機抽取了5輛進行CO₂排放量檢測，結果記錄如下（單位：g/km）：

甲	80	110	120	140	150
乙	100	120	x	y	160

（Ⅰ）從被檢測的5輛甲類型的新車中隨機抽取3輛進行跟蹤調查，記抽取的3輛新車中CO₂排放超標的臺數為隨機變量X，求X的分布則和數學期望EX；
（Ⅱ）經測算發現，甲、乙兩種型號的新車CO₂的排入量的平均值相同，但乙類型新車比甲類型新車的CO₂的排放量的穩定性要好，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,極差、方差與標準差

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）被檢測的5輛甲類型的新車中有3輛CO₂排放不超標，有2輛CO₂排放超標，由此得X的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布則和數學期望EX．
（2）分別求出甲類品牌汽車CO₂排放量的平均值，方差，和乙類品牌汽車CO₂排放量的平均值和方差，由此能求出x的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）被檢測的5輛甲類型的新車中有3輛CO₂排放不超標，有2輛CO₂排放超標，
由此得X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

，
P（X=1）=

C 2 3 C 1 2

C 3 5

=

6

10

，
P（X=2）=

C 1 3 C 2 2

C 3 5

=

3

10

，
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	0.1	0.6	0.3

∴EX=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．
（2）甲類品牌汽車CO₂排放量的平均值

.

x甲

=

1

5

（80+110+120+140+150）=120（g/km），
甲類品牌汽車CO₂排放量的方差：
S甲2=

1

5

[（80-120）²+（110-120）²+（120-120）²+（140-120）²+（150-120）²]=600，
乙類品牌汽車CO₂排放量的平均值

.

x乙

=

1

5

（100+120+x+y+160）=120（g/km），
∴x+y=120，故y=220-x，
乙類品牌汽車CO₂排放量的方差：
S乙2=

1

5

[（100-120）²+（120-120）²+（x-120）²+（220-x-120）²+（160-120）²]，
∵乙類型新車比甲類型新車的CO₂的排放量的穩定性要好，
∴S乙2＜S甲2，
∴

1

5

[（100-120）²+（120-120）²+（x-120）²+（220-x-120）²+（160-120）²]＜600，
解得90＜x＜130．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查平均值和方差的求法及應用，是中檔題．