Question

雙曲線的離心率等于2，且與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1有相同的焦點，
（1）求此雙曲線的標準方程．
（2）求此雙曲線的焦點到漸近線距離．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質,橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點，即有c=4，設出雙曲線方程，由離心率為2，求得a=2，再由a，b，c的關系即可得到b，進而得到雙曲線方程；
（2）求出雙曲線的一條漸近線方程，再由點到直線的距離公式，即可求得距離．

解答： 解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點為（±4，0），
則雙曲線的c=4，可設雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
由雙曲線的離心率等于2，則

c

a

=2，則有a=2，
b=

c2-a2

=2

3

．
則雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）設雙曲線的一個焦點為（4，0），一條漸近線方程為y=

3

x，
則焦點到漸近線的距離為d=

4 3

1+3

=2

3

．

點評：本題考查橢圓和雙曲線方程、性質，主要考查雙曲線的離心率公式和漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．