Question

19．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=1$，|$\overrightarrow{b}$|=1，|k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow{b}$|，k＞0．
  （1）求$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角θ的最大值；
（2）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$共線，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的模，平方展開，推出向量的數(shù)量積，然后求解向量的夾角的最大值．
（2）通過$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，說明$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為0或π，利用數(shù)量積列出方程求解即可．

解答 解：（1）$|k\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{3}|\overrightarrow a-k\overrightarrow b|⇒{（k\overrightarrow a+\overrightarrow b）^2}=3{（\overrightarrow a-k\overrightarrow b）^2}$
即∴${k^2}{\overrightarrow a^2}+2k\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=3{\overrightarrow a^2}-6k\overrightarrow a•\overrightarrow b+3{k^2}{\overrightarrow b^2}⇒\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{{{k^2}+1}}{4k}$…..（3分）
∵$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{4}（k+\frac{1}{k}）≥\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$k=\frac{1}{k}$且k＞0即k=1時等號成立…..（5分）
此時$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\overrightarrow a•\overrightarrow b≥\frac{1}{2}$又y=cosθ在[0，π]上單調(diào)遞減，從而${θ_{max}}=\frac{π}{3}$…．（7分）
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為0或π，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cosθ=±1⇒|\frac{{{k^2}+1}}{4k}|=1$…（10分）
又∵k＞0，∴${k^2}+1=4k⇒k=2±\sqrt{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模以及向量的夾角的求法，考查計(jì)算能力．