Question

14．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0），h（x）=f（x）-g（x），
（1）若a=3，b=2，求h（x）的極值點；
（2）若b=2且h（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數求單調性，在確定極值
（2），$h′（x）=-\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，函數h（x））存在單調遞減區間，只需h′（x）＜0有解，即當x＞0時，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解，分以下：（1）當a＞0，（2）當a＜0情況討論即可

解答 解：（1）∵a=3，b=2，∴$h（x）=f（x）-g（x）=lnx-\frac{3}{2}{x}^{2}-2x$，
∴$h′（x）=\frac{1}{x}-3x-2=-\frac{3{x}^{2}+2x-1}{x}，（x＞0）$，
令h′（x）=0，則3x²+2x-1=0，x₁=-1，x${\;}_{2}=\frac{1}{3}$，
則當0$＜x＜\frac{1}{3}$時，h′（x）＞0，則h（x）在（0，$\frac{1}{3}$）上為增函數，
當x$＞\frac{1}{3}$時，h′（x）＜0，則h（x）在（$\frac{1}{3}，+∞）$上為減函數，
則h（x）的極大值點為$\frac{1}{3}$；
（2）∵b=2，∴$h（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x}^{2}-2x$，∴$h′（x）=\frac{1}{x}-2x-2=-\frac{a{x}^{2}+2x-1}{x}$，
∵函數h（x））存在單調遞減區間，∴h′（x）＜0有解．
即當x＞0時，則ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
（1）當a＞0時，y=ax²+2x-1為開口向上的拋物線，y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解．故a＞0符合題意；
（2）當a＜0時，y=ax²+2x-1為開口向下的拋物線，要y=ax²+2x-1＞0在（0，+∞）總有解，
則△=4+4a＞0，且方程ax²+2x-1=0至少有一個正根，此時，-1＜a＜0'
綜上所述，a的取值范圍為（-1，0）∪（0，+∞）．

點評 本題考查了利用導數求函數單調性、極值，考查了函數與方程思想、數形結合思想，屬于中檔題．